La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computacióny la lógica filosófica.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas
Disyunción
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
Condicional
El condicional material es una función de verdad que toma dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones) y devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso, y verdadero en cualquier otro caso.
Dada una matriz a = (aij) y un número
real k se define el producto de un
número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que a, en la que
cada elemento está multiplicado por k.
EJEMPLO:
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.Am x n x Bn x p = Cm x pEl elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
La factorización
es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o
un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números
debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el
objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 ×
5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b) (a + b).
Caso 1 - Factor
común
Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se
presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor
común.
Ejemplo:
3x + 3y = 3(x + y) R//
Explicación:
Observamos claramente que el 3 está multiplicando con cada termino, este
número es el factor común.
El binomio que queda después de que el tres abandona cada termino.
En el primer término sale el tres nos queda x.
En el segundo término sale el tres nos queda y.
Y así obtenemos este binomio con el caso llamado con el caso factor
común.
Caso 2 – Factor
Común por agrupación de términos
En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es
posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de
cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se
debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más
términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en
los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de
todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.
-Observamos el
ejercicios en este caso tenemos un polinomio de 6 términos.
-Ver cuantos
términos con coeficiente iguales hay para poder ordenarlo.
- Una vez ordenado
pasamos a agrupar los términos entre paréntesis
- una vez agrupar
sacamos factor común de cada termino
- nos quedara un
binomio y luego agrupamos y así nos quedara factorizado nuestro
ejercicios.
Caso 3 -
Trinomio cuadrado perfecto
Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de
tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos
(tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble
producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al
cuadrado.
Caso 4 – Diferencia
de cuadrados perfectos
Dos cuadrados que se están restando es una
diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz
cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por
la suma de los dos
Ejemplo:
162 -
25y4= (4x – 5y2)
(4x + 5y2) R//
Explicación:
Caso 5 -
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados
perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el
término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber
cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el
término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de
tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último
término tendremos una diferencia de cuadrados.
Caso 6 -
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:
El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al
cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la
misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).
Ejemplo:
(x + 3) (x + 2) R//
Explicación:
-Observamos el ejercicio y abrimos dos paréntesis y ponemos la x en el
primer paréntesis y la otra x en el segundo paréntesis.
-Luego colocamos el signo que separa al ejercicio y en el segundo
paréntesis la suma de los dos signos.
-Luego en el primer paréntesis colocamos 2 número que multiplicado me de
6 y nos de 5 y así tenemos factorizado el ejercicio.
Caso 7 - Trinomio de la forma ax2+bx+c
Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el
primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta
forma se convierte en un trinomio de la forma:
x2+bx+c
y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la
parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como
denominador.
Ejercicio:
Explicación:
Lo primero que realizamos es sacar el factor común multiplicando
el primer término por el tercer término y nos que 20.
Luego procedemos a realizar el trinomio en donde tenemos que
buscar que un número multiplicado nos de 20
y sumado nos de 9.
A continuación procedemos a realizar la simplificación respectiva.
Después de haber realizado la simplificación obtenemos la
respuesta que es
Caso 8 - Cubo perfecto de binomios
Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si
cumple las siguientes condiciones:
Posee cuatro términos
° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas
exactas).
° El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
° El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último
término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
° Los signos son todos más o también podría ser positivo el primero y el
tercero y negativo el segundo y el cuarto.
Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo,
el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo
término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es
más si todos los signos del cubo son más y es menos si los signos del segundo y
cuarto término del cubo son menos.
Ejemplo:
Explicación:
Los primero que
realizamos en este caso de factorización es sacar la raíz cubica del primer
término que es 2x y la raíz cubica del cuarto termino que es 3y.
Luego
procedemos a verificar si la factorización
es correcta y lo que tenemos que realizar es multiplicar el triple producto por
el primer término elevado al cuadrado por el cuarto termino que nos queda .
Después volvemos a realizar lo mismo en este
paso multiplicando el triple producto por el primer término y
por el cuarto término elevado al cuadrado y nos queda .
Luego de haber realizado estos pasos nos
damos cuenta que si es un cubo perfecto de binomios obteniendo como
resultado
Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos
Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos.
Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por
las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor está formado
por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la
segunda y la segunda raíz al cuadrado.
Ejemplo:
Explicación:
1)Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
2)Se forma un producto de dos factores.
3)Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio
.4)Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
